Modelo Biomecánico de una Prótesis de Pierna (2022)

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Revista Iberoamericana de Automática e Informática industrial 11 (2014) 417-425

R I A I

www. elsevier. es/RI AI

Modelo Biomecánico de una Prótesis de Pierna

Diego A. Bravo Má *, Carlos F. Rengifo Rb

aDepartamento de Física, Universidad del Cauca, Calle 5 No. 4-70, Popayán, Colombia. bDepartamento de Electrónica, Instrumentación y Control, Universidad del Cauca, Calle 5 No. 4-70, Popayan, Colombia.

Resumen

En este trabajo se presenta el modelo biomecánico de una prótesis de pierna. Con el objetivo de estudiar el cambio de velocidad en la union protesis-munon al momento del impacto del pie con el suelo, esta se modelo como un sistema resorte-amortiguador, permitiendo evidenciar la necesidad de construir la union munon-protesis con dispositivos de impedancia mecanica variable. Ademas se desarrollo un simulador con el objetivo de hacer representaciones virtuales de un paciente con prótesis. Para ello se modelo al paciente como un robot bípedo planar, el simulador permite estudiar el efecto de las fuerzas de impacto con el suelo de la union protesis-munon como una etapa anterior a la implementacion real de la misma. Copyright © 2014 CEA. Publicado por Elsevier España, S.L. Todos los derechos reservados.

Palabras Clave: Marcha humana, Modelo biomecanico, prótesis, simulacion.

1. Introducción

El uso de la robotica para asistencia medica va en aumento, (Dellon and Matsuoka, 2007). Actualmente, grandes centros de rehabilitacion estan incluyendo el uso de sistemas roboticos para facilitar los procesos de rehabilitacion en aquellas condiciones de salud donde se requiere la practica de acciones específicas con repeticion constante y precisa, como es el caso del entrenamiento de la marcha en pacientes con secuelas de enfermedad cerebrovascular (ECV) o trauma craneoencefalico (TEC). Estos robots han sido diseñados para contribuir al fortalecimiento de las extremidades debiles o asistir a las sesiones de entrenamiento, (Jimenez-Fabian and Verlinden, 2012, Martins et al., 2012).

La investigacion en robots bípedos ha contribuido al desarrollo de prótesis de pierna activa o pasiva, (Hermini et al., 2001, Kim and Oh, 2001, Rovetta and Chettibi, 2003). La tecnología robotica puede ayudar a construir robots bípedos que permitan emular la marcha humana, (Vazquez and Velasco-Villa, 2013), encaminada a construir prótesis inferiores o exoesqueletos que ayuden a caminar y a realizar otras actividades musculares que de otro modo serían imposibles. En los trabajos, (Karimi and Tahani, 2010, Nandi et al., 2009) se disenan patrones de movimiento para la articulacion de la rodilla de prótesis activas utilizando tecnicas propias de la robotica bípeda como la generacion de trayectorias basada en captura de movimiento humano.

* Autor en correspondencia.

Correos electrónicos: dibravo@unicauca.edu.co (Diego A. Bravo M), caferen@unicauca.edu.co (Carlos F. Rengifo R)

En proyectos desarrollados recientemente, (Hobara et al., 2013, Wentink et al., 2013, Xie et al., 2010) se evidencia la necesidad de utilizar actuadores de impedancia variable en el diseño de las prótesis, puesto que la marcha humana esta compuesta de distintas fases y ciclos, en los que la rigidez de la articulacion debe ser variable en el tiempo para permitir al paciente un ciclo de marcha que se aproxime al normal, (Lee et al., 2012). La cinesiología de la marcha es la rama de la biomecanica que se encarga de definir la marcha humana, distinguir las fases y ciclos de la marcha. Ademas, determina las fuerzas que intervienen en un ciclo de marcha completo, (Cifuentes et al., 2010). Con base en esta information, algunos investigadores abordan el diseno e implementacion de prótesis de miembro inferior teniendo en cuenta los distintos modelos dinamicos de la marcha humana, (Ferris et al., 2012, Pejhan et al., 2008, Whittlesey et al., 2000). Sin embargo, en estos trabajos no se dispone de una plataforma computacional que permita simular las fuerzas que intervienen durante el ciclo de marcha y el ajuste de los parámetros dinamicos de la prótesis se realiza experimentalmente. Surge entonces la pregunta ¿Existe alguna herramienta software, que permita modelar y simular el comportamiento dinamico de una prótesis sometida a restricciones geometricas y físicas?.

Para responder esta pregunta, se hizo un estudio sobre el estado del arte en simuladores que permitan modelar y simular el comportamiento dinamico de una prótesis de pierna. Los resultados obtenidos se pueden resumir en la tabla 1. Ahí, se presenta una lista de herramientas software que permiten simular el comportamiento dinamico de sistemas mecanicos. Algunas

© 2014 CEA. Publicado por Elsevier España, S.L.U. Todos los derechos reservados http://dx.doi.Org/10.1016/j.riai.2014.08.003

de ellas como ODE o Bullet son librerías que el usuario integra desde un programa escrito en C o C++. Physion o Box2D son entornos de simulación 2D orientados a la ensenanza de la física. Otras herramientas como Webots, VRep, Morse o Gazebo son complejos entornos gráficos para simulacion de robots. La característica comun de las herramientas anteriormente mencionadas es que no entregan las ecuaciones que rigen el comportamiento dinamico de la cadena cinematica que se modela. Aparece entonces otro interrogante ¿En que situaciones se requiere conocer explícitamente estas ecuaciones?. En el caso del diseno de protesis activas, estas ecuaciones son un insumo fundamental para el diseno del sistema de control de los actuadores de la protesis. Despues del estudio anterior se concluye que no existe en el mercado una herramienta software que permita al mismo tiempo modelar, simular y sintonizar un controlador para el diseno de protesis activas. Es por esta razoí n, que en este trabajo se presenta el desarrollo de un modelo dinamico para la simulacion y control de una protesis activa de pierna en el entorno de programacion MATLAB ©.

Tabla 1: Herramientas software para simulacion de sistemas mecánicos.

ODEwww.ode.org

Bulletbulletphysics.org

Physicsdeveloper.nvidia.com

Webotswww.cyberbotics.com

VRepwww.coppeliarobotics.com

En este artículo se explica el desarrollo y simulacion del modelo mecanico de una protesis de pierna, para ello las piernas y la cadera de un ser humano, se modelaron como el robot bípedo planar, ilustrado en la Figura 1. Dicho robot tiene 7 grados de libertad, uno a nivel de cada cadera, uno a nivel de cada rodilla, uno a nivel de cada tobillo y uno entre la cadera y la rodilla de la pierna derecha que emula una protesis.

El modelo utilizado para simular el sistema descrito anteriormente tiene dos componentes principales. El primero describe la interaccion entre los cuerpos del robot y el segundo calcula las fuerzas de reaccion entre el pie y el suelo. Con respecto al segundo componente la principal dificultad viene de la multiplicidad de contactos entre el pie y el suelo. En el caso de un robot con pies rectangulares que se desplaza sobre un terreno

libre de obstaculos el pie que entra en contacto con el suelo puede generar nueve tipos de impacto diferentes: sobre uno de los cuatro vertices del pie, sobre una de las cuatro aristas o como un contacto entre dos superficies planas. El modelo de simulacion comprende el calculo del vector de aceleraciones generalizadas y el calculo del vector de fuerzas de reaccion entre el pie y el suelo. Estas fuerzas, a diferencia de las aceleraciones generalizadas, deben satisfacer dos restricciones unilaterales, representadas por desigualdades matemaíticas. La primera, la componente normal del vector de fuerzas de reaccion debe ser no negativa. Esta componente impide que el pie atraviese el suelo pero no puede impedir que este pierda contacto. La segunda, la magnitud de las componentes tangenciales del vector de fuerzas de reaccion debe ser menor o igual al producto entre el coeficiente de friccion y la fuerza normal. Este modelo integra las características del paciente (robot bípedo) y la protesis. Puede ser usado como una evaluacion preliminar que permita ajustar los parámetros dinamicos de la protesis, antes de su implementacioín.

Este documento esta compuesto de cuatro partes. En la primera parte se describen los conceptos basicos de la marcha. En la segunda parte la simulacion de una protesis pasiva de pierna es presentada. En la tercera parte el modelo biomecaínico de la protesis de pierna es desarrollado. La parte final esta dedicada a conclusiones y perspectivas.

2. Descripción de la Marcha Humana

El analisis del movimiento humano desde la perspectiva de la biomecanica, parte de una concepcion mecanicista que considera el cuerpo humano como un sistema formado por una serie de segmentos sobre los cuales actuan fuerzas externas e internas. Este sistema puede analizarse mediante dos tipos baísicos de enfoques: el primer planteamiento, se basa fundamentalmente en el analisis cinematico del movimiento humano. El segundo enfoque, profundiza en las capacidades elasticas y deformadoras de los materiales biologicos que componen el cuerpo, (Cifuen-tes et al., 2010).

En el proceso de locomocion bípeda el cuerpo se mueve de forma erguida hacia adelante, siendo su peso soportado alternativamente por ambas piernas. Mientras el cuerpo se desplaza sobre la extremidad soporte, la otra pierna se balancea como preparacion para el siguiente apoyo. Siempre un pie se encuentra sobre el piso, y en el periodo de transferencia del peso del cuerpo de la pierna de soporte a la otra, existe un breve lapso de tiempo en el cual ambos pies descansan simultáneamente sobre el suelo. Al aumentar la velocidad de la marcha, los periodos bipodales o de doble soporte se tornan mas cortos, hasta que el sujeto even-tualmente comienza a correr, siendo así reemplazados por lapsos breves de tiempo en los que ambos pies se encuentran en el aire. El plano sagital se identifica con el plano de progresion de movimiento; los movimientos mas importantes de las articulaciones que permiten la caminata ocurren en este plano, aunque se requieren movimientos adicionales en el plano frontal para lograr un adecuado balance y en el plano transversal para mejorar la eficiencia energetica de la caminata, (Chevallerau et al., 2009).

Fase de Apoyo (60 %)

Figura 2: Ciclo de marcha humana

Durante un ciclo de marcha completo cada pierna pasa por una fase de apoyo, durante la cual el pie se encuentra en contacto con el suelo y por una fase de oscilacioí n, en la cual el pie se halla en el aire mientras se desplaza hacia adelante como prepa-racioín para el siguiente apoyo, como se muestra en la Figura 2. La fase de apoyo (stance phase) comienza con el contacto inicial y finaliza con el despegue del antepie. Se destacan cinco momentos a saber: contacto inicial, inicial de apoyo o de respuesta de carga, media del apoyo, final del apoyo y previa a la oscilacion. La fase de oscilacion (swing phase) transcurre desde el instante de despegue del antepieí hasta el contacto con el suelo y la constituyen tres momentos: inicial de oscilacion, media de la oscilacion y final de la oscilacion, (Ivancevic and Ivancevic, 2008).

3. Modelado y simulación de una prótesis pasiva de pierna

En esta seccioín se presenta el modelo matemaítico de la proítesis pasiva de pierna mostrada en la Figura 3. Para el modelado se consideraron dos coordenadas generalizadas. La primera, denotada q0, es la distancia entre el suelo y el centro de gravedad del cuerpo inferior de la protesis. La segunda, denominada qi, es la distancia entre el suelo y el cuerpo superior de la proítesis. Dichos cuerpos interactuí an a traveís de una articulacioín prismaítica accionada por un sistema resorte-amortiguador pasivo. El objetivo de este sistema pasivo es absorber los impactos que se generan en el momento en que la proí tesis entra en contacto con el suelo.

lo o k&

///////////////

Figura 3: Prótesis pasiva de pierna

3.1. Modelo de balanceo

(Video) Chiara, la primera modelo con pierna biónica en Italia | Venga la Alegría

En base las leyes de Newton se puede obtener el modelo de la protesis cuando esta no esta en contacto con el suelo (fn = 0)

qo = +—(qi - qo - dm)--(qo - qi) - g

qi =--(qi - qo - dm)--(qi - qo) - g

Siendo m0 la masa del cuerpo que representa la proítesis, m1 la masa del cuerpo que representa el conjunto paciente-munon, k la constante elastica del resorte, l0 su elongacion en reposo, p el coeficiente de viscosidad del amortiguador y g la aceleracioín gravitacional. dm = d2 +d4+l0 es la distancia entre los centros de gravedad de los cuerpos de la protesis cuando el resorte esta en su elongacion en reposo. Las distancias d2 y d4 se detallan en la Figura 3.

3.2. Modelo de contacto

Cuando la protesis se encuentra en contacto con el suelo el modelo resultante es similar a (1), siendo la uí nica diferencia entre estos la aparicioí n de una fuerza de reaccioín fn no nula

•• ^k ^ PrJ. fn

qo = + — (qi - qo - dm)--(qo - qi) - g + —

momomo

qi =--(qi - qo - dm)--(qi - qo) - g

Si la proítesis estaí en contacto permanente con el suelo q0 = d1, q0 = 0 y q0 = 0. En tal caso la ecuacion (2) se puede reescribir como:

qo = o

•• 1 p .

qi =--(qi - di - dm)--qi - g

Los modelos (1) y (3) permiten determinar respectivamente el comportamiento de la proítesis en las fases de balanceo y de contacto pero no el instante en que ocurre el impacto.

3.3. Modelo de impacto

Para modelar los impactos se utilizaraí la ley de restitucioí n Newton, (Landau and Lifshitz, 1978). La cual conlleva a discontinuidades en las velocidades normales de los puntos de contacto. Para explicar matemaíticamente estas discontinuidades las fuerzas de reaccioín que se generan durante el instante del impacto deben suponerse impulsionales (las fuerzas impulsionales generan aceleraciones impulsionales que cuando son integradas producen velocidades discontinuas), (Rengifo, 2011). Alrededor del instante del impacto, t = ti , la fuerza de reaccioí n se supone igual a pnS(t - ti). Siendo pn la magnitud de la impulsion y S(t - ti) la distribucion de Dirac. En el instante del impacto se satisfacen las siguientes condiciones q0 = d1 y q0 < 0. Al aplicar la ley de restitucion de Newton se obtiene:

qo(t+) = -e qo(t¡ )

ón (40 %)

= 9.81 \m/

Donde e es el coeficiente de restitución entre la base de la prótesis y el suelo. q0(t-) y q0(t+) son respectivamente las velocidades del cuerpo de base un instante infinitesimal justo antes y justo despues del impacto. La ecuacion (4) no constituye un modelo completo de la fase de impacto dado que no permite determinar q1(t+) (la velocidad con respecto al suelo del cuerpo de la pro tesis que esta en contacto con el muíñon). Para obtener dicha velocidad se integra (2) alrededor del instante del impacto. Al anular la integral de los terminos constantes y de aquellos que dependen iónicamente de las posiciones y de las velocidades se obtiene:

rt* r..w¡

P M* = P

Jt- .41. Jt-

^ Ô (t -ti)

Al aplicar el teorema fundamental del calculo y las propiedades de la distribucion de Dirac se obtiene

qo(t+) - qo(h ) = — mo

4i(t,+) - qi(t-) = o

De (4) y (6) se obtiene el modelo de impacto 4o(t+) = -e qo(t-)

4i(t,+) = 4i(t-)

Una primera conclusion que se puede obtener del modelo anterior es que el sistema resorte-amortiguador, independientemente de su parametrizacion garantiza la continuidad de q1 durante el impacto.

3.4. Cálculo de las constantes del resorte y del amortiguador La constante k del resorte debe garantizar que cuando este comprimido al 80 % de su elongacion de reposo ejerza una fuerza igual al peso m1 g (m1 se obtiene sumando la masa del cuerpo superior de la prótesis mas la mitad del masa de la persona que la porta). Lo anterior significa que al reemplazar q1 = d1 + d2 + d4 + 0.810 y q1 = 0 en (3), la aceleracion resultante q1 debe ser cero. Al despejar k se obtiene

o .2 lo

Para el calculo de ¡ se aplica el cambio de variable x = q1 -d1 -dm -m1 g/k a la ecuacion (3) con el fin de obtener el modelo clasico de un sistema masa-resorte-amortiguador

X + 2 £anX + a^x = 0

Donde, an = A — y £ = ¡—. La constante ¡ del amorti' n \m J b 2-m—H

guador debe garantizar que el coeficiente de amortiguamiento £ sea lo suficientemente alto como para impedir que el impacto de la prótesis con el suelo genere oscilaciones en la articula-cionprismatica por un periodo de tiempo prolongado. El valor numerico de ¡ se obtiene fijando el coeficiente de amortiguamiento en £ = V2/2.

3.5. Resultados numéricos

En la Figura 4 se muestra el sistema a eventos discretos utilizado para simular las fases de balanceo, contacto e impacto de la prótesis presentada en la Figura 3. Si por ejemplo, el sistema inicia en la fase de balanceo, la ecuacion (1) se resuelve utilizando un algoritmo de integracion numerica de ecuaciones diferenciales como el de Runge-Kutta. Cuando se detecta una colision entre la base de la prótesis y el suelo (q0 = d1 y q0 < 0), la integracion numerica se interrumpe y se aplica el modelo de impacto descrito por (7). Las velocidades obtenidas a partir de dicho modelo se utilizan como condiciones iniciales para reini-ciar el algoritmo de integracion, bien sea aplicando el modelo para la fase de balanceo (1) o el modelo para la fase de contacto (3). Si q0(t+) > 0 se aplica el modelo de balanceo, en el caso contrario el modelo de contacto (3). Se resalta que despues del impacto el valor obtenido de q0(t+) debe ser no negativo para evitar que en la simulacion la prótesis penetre el suelo.

qo < o

Figura 4: Sistema a eventos discretos utilizado para simular las fases de balanceo, contacto e impacto de la prótesis.

A continuation se presentan los valores numericos utilizados para la simulacion del modelo de la prótesis: di = o.i5m, d2 = o.i5m, d3 = o.o9m, d4 = o.oim, lo = o.i5m, mo = ikg, mi = 4okg, g = 9.8im/seg2, e = o. Como condiciones iniciales se utilizaron qo = o.25m (la base de la prótesis a o.im por encima del suelo), qi = o.56m (el resorte en su elongacion de reposo), qo = o, qi = o. La Figura 5(a) muestra que para t > o.i43seg la variable qo toma un valor constante de o.i5m. Lo anterior significa que despues del impacto la base de la prótesis permanece en contacto con el suelo. Adicionalmen-te, se debe asegurar que despues del impacto el resorte no se comprima mas alla del 4o % de su elongacion de reposo, valor a partir del cual se considera que este se comporta como un cuerpo rígido. Cuando la prótesis se encuentra en contacto con el suelo y el resorte se encuentra comprimido en un 4o %, el valor de qi debería ser igual di + d2 + o.6 lo + d4 = o.4m. En la Figura 5(a) se verifica que despues del impacto qi(t) toma valores por encima de o.4m.

La Figura 5(b) confirma que el sistema resorte-amortiguador garantiza la continuidad de qi alrededor del instante del impacto (ver (6)). En dicha figura se muestra que despues de la colision entre la prótesis y el suelo qi disminuye i.4m/s en un

(Video) PRÓTESIS DE PIERNA SOCKET, RODILLA POLICÉNTRICA Y PIE EN FIBRA

intervalo de tiempo de aproximadamente 0.05 segundos, lo cual es equivalente a una desaceleracion de -2.85g, siendo g la constante de aceleracioí n gravitacional. Al aumentar el coeficiente de amortiguamiento se disminuye el tiempo requerido para disipar la energía asociada al impacto; sin embargo una desaceleracion excesiva no es aconsejable porque podría generar lesiones (edemas) en el munon, (Colombo et al., 2010). Por otro lado, un coeficiente de amortiguamiento muy bajo conlleva a dos inconvenientes. El primero, un comportamiento oscilatorio de la protesis y el segundo una posible compresion del resorte mas alla de su rango elastico.

° 0 05 °'1 °'15 °'2Tiem°pf[segl03 ^ °'4 ^

(a) Posición cartesiana de la prótesis

° 005 °'1 °'15 °'2Tiem°pf[segl03 ^ °4 ^

(b) Cambio en las velocidades del pie y muñon de la protesis

Figura 5: Comportamiento cinemaítico de la proí tesis

El enfoque a eventos discretos utilizado en esta seccion es difícilmente extensible a sistemas mas complejos. La principal limitante viene del aumento en el numero de estados a medida que se incrementa la cantidad de puntos de contacto. Por ejemplo, para el robot presentado en la Figura 1, se consideran cuatro puntos de contacto, dos por cada pie. Considerando que cada punto puede estar: (i) sin contacto con el suelo, (ii) en contacto con deslizamiento, o (iii) en contacto sin deslizamiento, el numero total de estados asociado a las fases de balanceo y de contacto es de 34 = 81. Sin embargo, al considerar que cuando los extremos anterior y posterior de un mismo pie estan en contacto con el suelo, estos no pueden estar en estados diferentes, el numero de posibilidades se reduce a 49. A estos estados se deben adicionar los relacionados con el instante del impacto. Para el modelado de sistemas con numerosos puntos de contacto se han propuesto formulaciones basadas en el problema lineal de complementariedad, (Cottle et al., 1992), unas en tiempo continuo, (Pang and Trinkle, 1996) (enfoque aceleracion-fuerza) y otras en tiempo discreto, (Anitescu et al., 1999) (enfoque velocidad impulsion). En la actualidad se privilegia el uso del se-

gundo enfoque debido a que este no requiere una formulación independiente para modelar los impactos, y que no se requiere detectar las transiciones entre contactos con y sin deslizamiento, (Acary and Brogliato, 2oo8).

3.6. Consideraciones para el diseño de una prótesis de pierna

por encima de la rodilla Para imitar la fase de oscilacion de las extremidades inferiores y mantener el equilibrio del cuerpo, la protesis debe ser estable durante la fase de apoyo y el movimiento de flexion y extension controlable durante la fase de oscilacion, (Xie et al., 2oio). La protesis debe simular la marcha humana normal, tener la capacidad de controlar la elevacion del talon en la fase inicial, de giro libre en la etapa media de la fase de oscilacion, y oscilacion hacia adelante durante la etapa final de la fase de oscilacion. El control del par en la articulation de la rodilla es el factor clave que afecta el desempeno de la protesis, (Xie et al., 2oio). Durante la fase de soporte, el par de la articulation de la rodilla debe ser suficientemente grande para asegurar la estabilidad de las protesis. Durante la fase de oscilacion, la protesis debe extenderse y por otra parte, tener amortiguacion para evitar sobrepasos en el instante del impacto. El problema mas difícil del control de protesis es asegurar la simetría de la marcha entre la pierna con protesis y la pierna sana, (Kim and Oh, 2ooi). Los dispositivos actuales para el control de par en la articulacion de la rodilla, el mas simple es el que tiene un coeficiente de friccion constante. Sin embargo, el valor del par es variable en un ciclo de la marcha. El analisis biomecanico de la marcha muestra que el par de la rodilla humana, cambia con la velocidad de la marcha y las condiciones (inclination) del camino, (Cifuentes etal., 2oio).

El par ideal para la rodilla ideal debe cumplir con los siguientes aspectos, (Jin et al., i998):

1.Debe ser una funcion periodica para un ciclo de marcha.

2.Debe ajustar automaticamente el modo de funcion para seguir el cambio del par en distintas velocidades de marcha o estado (marcha estatica o dinamica).

En la seccion 4 se presenta el modelo biomecanico de la protesis de pierna, donde la cadera y las piernas del ser humano se modelaron como un robot bípedo planar.

4. Modelo Matemático del Robot

La representacion Lagrangiana del modelo dinamico directo en tiempo continuo del robot bípedo, ver Figura i, y la protesis de pierna es la siguiente:

q = qv

A (q) • qv = B r - H (q, qv) + jf (q) Fn + jf (q) Ft

Siendo q e Rio y qv e Rio respectivamente los vectores de posiciones y de velocidades generalizadas

g *0g

gyogyo

4oA4o

q14v =q1

. 47.. q7 .

El vector q contiene las 7 posiciones articulares (q1,..., q7), la posicion del sistema de referencia < x0, y0 > con respecto al referente < xg, yg >, y q0 la orientacion de la cadera con respecto a la horizontal. Las posiciones q1s q3, q4, representan respectivamente las articulaciones rotoides de la cadera, rodilla y talon de la pierna derecha (pierna con la protesis). De la misma forma, las posiciones q5, q6, q7, representan las articulaciones rotoides de la cadera, rodilla y talon de la pierna izquierda. La articulacion prismatica q2 es la distancia entre el munon y la base de la protesis. La matriz A (q) e R10x10 es la matriz de inercia. El vector H (q, qv) e R10 contiene el efecto de las fuerzas de gravedad, centrifugas y de Coriolis. El vector r e R7 contiene el par motor de cada una de las 7 articulaciones del robot. La matriz B e R10x7 esta definida de tal manera que al multiplicarla por el vector r se obtiene un vector cuyas 3 primeras componentes son cero, y las 7 siguientes son las componentes de r. La matriz B indica que las 3 primeras coordenadas (posicion y orientacion absolutas) no son accionadas directamente. El modelo del sistema resorte amortiguador que constituye la protesis, se escribe

r2 = -k (42 - di - dj) - ßq2

Donde k es la constante de rigidez del resorte y ¡ el coeficiente de friccion viscosa. La ecuacion (io) representa la fuerza total en el sistema resorte amortiguador. El vector Fn contiene las fuerzas de reaccion normales ejercidas por el suelo sobre los vertices del pie que se encuentran en contacto con este. De la misma manera, Ft contiene las fuerzas de reaccion debidas a la friccion. Los vectores Fn y Ft cambian de dimension a lo largo del ciclo de marcha del robot. Así por ejemplo, si el robot esta apoyado sobre los vertices anterior y posterior del pie izquierdo (vertices 3 y 4 de la Figura 6), Fn y Ft estaran conformados así Fn = / fn4] Ft = / /,] . En general:

i e Nv

Nv es el conjunto de los vertices del pie que se encuentran en contacto con el suelo. La dimension de Fn y de Ft, denotada p, es igual al numero de elementos del conjunto Nv. La matrices Jn (q) e Rpx10 y Jt (q) e Rpx 10 permiten calcular las velocidades normales y tangenciales de los vertices del pie en contacto con el suelo. Dichas velocidades se denotan respectivamente como 0n¡ y 01¡. Al agrupar las componentes 0n¡ y 01¡ (i e Nv) en los vectores <¡>n y <¡>t se obtiene:

in = Jn (4) qv it = Jt (4) 4v

A nivel de cada pie se consideraron dos posibles puntos de contacto, uno por cada vertice de la cara inferior. La ubicacion de estos vertices denotados vi (i = 1... 4) se presenta en la Figura 6. En el caso de un suelo plano y libre de obstaculos esta consideracion permite modelar todas las posibles formas de contacto y de impacto entre el pie y el suelo. Los impactos con el pie paralelo al suelo se modelan como la colision simultanea de los vertices: anterior y posterior. El modelo descrito por la ecuacion (8) comprende el calculo del vector de aceleraciones generalizadas y el calculo del vector de fuerzas de reaccion entre el pie y el suelo. Estas fuerzas, a diferencia de las aceleraciones generalizadas, deben satisfacer dos restricciones unilaterales, representadas por desigualdades matematicas. La primera, la componente normal del vector de fuerzas de reaccion debe ser no negativa. Esta componente impide que el pie atraviese el suelo pero no puede impedir que este pierda contacto. La segunda, la magnitud de las componentes tangenciales del vector de fuerzas de reaccion debe ser menor o igual al producto entre el coeficiente de friccion y la fuerza normal. El modelo dinamico descrito por la ecuacion 8 esta constituido entonces por un conjunto de ecuaciones diferenciales donde una parte de las incognitas esta sujeta a desigualdades matematicas, (Anites-cu and Potra, 1997).

Figura 6: Pies del robot

4.1. Modelo de tiempo discreto basado en el metodo explícito de Euler

Para resolver la ecuacion diferencial ordinaria (8) se discreti-zara mediante el metodo explícito de Euler. Esto significa que la ecuacion diferencial que describe el modelo dinamico directo debe transformarse en una ecuacion en diferencias. Para ello es necesario aproximar las derivadas de los vectores q y qv utilizando una diferencia de primer orden

q(k+1) = q(k) + h ■ qVk) A ■ qVk+1) = A qVk) + h [B r - H + Jn Fnk) + Jt F((k)]

q(k) y qV? representan respectivamente los valores de los vectores q y qv en el instante tk. La constante h es definida como h = tk+i - tk. Las fuerzas normales de reacción entre el pie y el suelo deben satisfacer la siguiente ecuacion, conocida como condition de Signorini, (Moreau, 1988).

i(k+1)

/k) > 0, ■J n, — '

i e Nv

La condición (13) es interpretada de la siguiente manera : la fuerza normal de reacción calculada en el instante tk debe producir una velocidad positiva o nula en el instante tk+1 con el fin de evitar la penetracion del pie en el suelo. La ecuacion (13) es valida para el calculo de las fuerzas de contacto y de impacto. La condicion de complementariedad entre la fuerza tangencial en el instante k y la velocidad tangencial en el instante k + 1 es, (Moreau, 1988):

f - |fk)|> 0 ± $

pru ff * 0

La anterior ecuación indica que si la magnitud de la fuerza tangencial para el punto de contacto i es estrictamente menor a U/if, entonces velocidad tangencialdebe ser nula pa-

(Video) PRÓTESIS DE PIERNA ALTA TECNOLOGÍA - ORTHO-LIVE

ra satisfacer la condicion de complementariedad impuesta por el operador Si la velocidad tangencial es no nula, entonces la magnitud de la fuerza tangencial toma el valor maximo permitido por la ley de Coulomb que es u/j®. La desigualdad <tk+1) /k) ^ 0 asegura que la fuerza y la velocidad tangencial tendrán sentidos opuestos. Debe tenerse presente que <<j!k+1) y <<tk+1) dependen del vector de velocidades generalizadas q,k+1'), y este a su vez de los vectores de fuerzas de reaccion Fy F(k) (ver (12)). Lo anterior implica que las ecuaciones (13) y (14) estan acopladas y que por lo tanto las fuerza normales y tangenciales deben calcularse simultaneamente para todos los puntos de contacto i eN,.

A pesar de la facilidad en la interpretacion física de la ecuacion (14), esta no puede resolverse directamente sino que debe transformarse en el siguiente problema de optimizacion con restricciones

Minimice: £ [mín / - |/f|, <(f+1))]2

$ (k+1) fk) < 0

Sujeto a:Jt,

La complejidad computational del anterior problema de optimización limita significativamente la aplicabilidad de la ecuacion (14).

4.2. Intervalo de fricción tangencial

Con el objetivo de facilitar el calculo de las fuerzas de friccion tangenciales, estas serán descritas como la resta de dos escalares no negativos denotados b1¡ y b2¡

ft, = bii - b2¡

Si adicionalmente se impone que al menos uno de los escalares debe ser cero, entonces se obtiene | ft¡ | = b1¡ + b2¡. De esta manera la desigualdad ¡u fn¡ - |f, | > 0 puede escribirse como Ufm - b1¡ - b2¡ > 0 la cual es lineal con respecto a las incognitas b1¡ y b2¡. Al describir las fuerzas tangenciales de cada punto de contacto como la resta de dos escalares no negativos, el calculo

de estas se puede escribir como un problema lineal de complementariedad

f - b[k) - bf > 0 ± À(k) > 0

À(k) +p (k+1)> 0 ±b(1k)>0

À(k) -p (f+1).b(k)

Si |<(k+1)| # 0 entonces A(k) debe ser mayor que cero para garan-

como À(k) -

í(k+1) sean no negativos. Sin embargo si A > 0, entoncesser igual a

tizar que tanto À,k) + p<tk+1)

U/if. Lo anterior implica que cuando la velocidad tangencial es no nula, la magnitud de la fuerza de friccion toma el maximo valor posible u/if. Si b(k) + b2k) es estrictamente menor que U/ik) entonces A(k) debe ser cero. En tal caso la unica manera de garantizar la no negatividad de +0(k+1) y de -</>(k+1) es que <^(k+1) sea cero. Con el fin de simplificar la escritura de (16) se definen las siguientes constantes w = [1, -1], e = [1, 1] ,

y bi = [b1, b2i]T

Pfk - eT ■ b(k) > 0 ± À(k) > 0

e • À(k) + uT •

T i,(k+1) t,

0 b(k) 0

Con el objetivo de reescribir las ecuaciones (17) en forma ma-tricial, se definen las siguientes matrices

En el caso del enfoque velocidad-impulsion la utilizacion de las condiciones lineales de complementariedad conlleva a la siguiente formulacion

e. 0u .. 0

E â, Ü â

0 .e. 0 .u

À(k) 0

V ■ Ff - ET ■ J3(k) > 0 P(k) > 0 ± E ■ À(k) + nT ■ (t(k+1) > 0

Para resolver (19) primero se deben expresar <È>|

,(k+1) ^k(k+1)

y "' en se des-

funcion de q,k+1) utilizando (11). Posteriormente, q,k+1) cribe en terminos de F(k) y F(k) utilizando el modelo (12). Es fundamental recalcar que el metodo de integracion debe garantizar una relacion lineal entre las velocidades q,k+1) y las fuerzas F(k) y Fjk) con el fin de que (19) sea un problema lineal de com-plementariedad y no uno no lineal.

4.3. Simulación

Para simular el comportamiento dinamico del robot presentado en la Figura 1 se desarrollo un programa en Matlab que consta de dos etapas fundamentales. La primera consiste en resolver el problema lineal de complementariedad descrito por

la ecuacion (19) y así encontrar las fuerzas de reaccion F^-1, y Ft(k) = O{¡(k\ Posteriormente estas fuerzas se inyectan en el modelo (12) con el fin de calcular q(k+1) y qvk+1). Durante el ciclo de marcha se tuvo en cuenta para la simulacion la fase de apoyo y la fase de oscilacion de la pierna con protesis, la Figura 7 (a) describe la posicion cartesiana de la cadera del robot (cuerpo 0) con respecto al referente < xg, yg > y la longitud del sistema resorte-amortiguador con respecto al tiempo para la fase de apoyo. Durante los primeros 200 ms el resorte de la protesis se comprime aproximadamente al 5 % de su longitud inicial. Cuando la pierna sana impacta el suelo (aproximadamente en 1.2 s), el resorte se estira, preparando a la pierna con protesis para despegar del suelo y entrar en la fase de oscilacion. La altura de la cadera varía, ya que no se hizo control de la orientacion absoluta del robot y el par motor de las articulaciones 1 a 7 se selecciono para compensar las fuerzas de gravedad. Adicional-mente para la articulacion q2 se implemento un control PD para aumentar la rigidez mecanica.

(a) Posicion cartesiana de la plataforma

(b) Longitud sistema resorte-amortiguador

Figura 7: Comportamiento de la protesis. Fase de Apoyo

Para la fase de oscilacion de la pierna con protesis, la longitud del resorte permanece constante como se muestra en la Figura 8, en el momento del impacto, el talon gira libremente y el resorte se comprime, entrando en la fase de apoyo. Para ambas fases los valores de la constante del resorte y el coeficiente de amortiguamiento viscoso permanecen constantes. Las Figuras 7 y 8 muestran el cambio de longitud del resorte en las fase de apoyo y oscilacion del ciclo de marcha, desde el punto de vista biomedico, se desea que el munon no sufra cambios bruscos de velocidad, (Cifuentes et al., 2oio). Esto es posible si se dispone de una protesis construida con dispositivos de impe-dancia mecanica variable, (Vanderborght et al., 2oi3), donde se puede controlar el valor del coeficiente de friccion viscosa.

(a) Orientacion de la pierna con protesis

(Video) PROTESIS DE PIERNA - BLUE ANATOMIC PARA AMPUTACION TRANSTIBIAL

(b) Longitud sistema resorte-amortiguador Figura 8: Comportamiento de la protesis. Fase de Oscilacion

5. Conclusiones y perspectivas

El modelo mecanico de una protesis de pierna por encima de la rodilla se construye) a partir de la representacion de la cadera y las piernas de un ser humano como un robot bípedo planar. A partir del ana)lisis de las gra)ficas obtenidas, se puede afirmar que los valores de la constante del resorte y el coeficiente de fric-cio)n viscosa deben ser variables en el tiempo (en el caso de una protesis real), así entonces en la fase de oscilacion se desea que la pro)tesis se comporte como un sistema resorte-amortiguador que no permita el movimiento del munon, mientras que en el instante del impacto se espera que la protesis absorba la energía del mismo y despue)s de la colisio)n un sistema que retorne ra)pi-damente, sin cambios bruscos en la velocidad del munon, a su posicio)n de equilibrio esta)tico.

El desarrollo del simulador permitio) sintetizar modelos dina)mi-cos con restricciones de complementariedad y leyes de control para el robot y la pro)tesis que no hubieran podido implementar-se utilizando las herramientas software disponibles en el mercado. Ademas, se constituye como una herramienta de diseno y validacio)n de para)metros dina)micos y algoritmos de control, como una etapa previa a la construccio)n de la pro)tesis. En el caso del enfoque velocidad-impulsio)n la discretizacio)n del modelo dina)mico conlleva a que las simulaciones deban ser realizadas a paso fijo y no a paso adaptativo. Los me)todos de paso fijo, sin embargo, pueden requerir de tamanos de paso prohibitivamente pequenos con el fin de asegurar la estabilidad nume)rica de la solucio)n obtenida. Lo anterior claro esta) implica tiempos de simulacio)n excesivamente largos. Se propone como trabajo futuro, la implementacion real de la protesis. En la actualidad se dispone de amortiguadores MR (Magneto-Reologicos), el Fluido Magneto-reologico (MRF) en

el amortiguador MR es un fluido controlable. Mediante el control de la fuerza de un campo magnetico externo, el MRF puede cambiar de líquido a semi-solido, en milisegundos, para lograr un amplio rango de control de amortiguación y fuerza. El amortiguador MR tiene un numero de ventajas, tales como una estructura simple, de pequeno volumen, respuesta inteligente y bajo consumo de energía (menos de 50 W). Ademas en caso de interruption de energía, el amortiguador MR todavía puede actuar como un dispositivo de disipacion de energía pasiva (amortiguador viscoso), que sigue desempeíñando su accion de control.

English Summary

Biomechanical Model of a Prosthetic Leg Abstract

This paper presents the biomechanical model of a prosthetic leg. In order to study the change of speed in the joint prosthesis-stump upon impact of the foot with the ground is modeled as a spring-damper system, allowing demonstrate the need to build the stump-prosthesis junction impedance devices mechanical variable. This platform is also proposed with the aim of simulating virtual representations to a patient with prosthesis, as a stage prior to the actual implementation thereof.

Keywords:

Human gait, Biomechanical model, prosthesis, simulation.

Agradecimientos

Los autores expresan sus ma)s sinceros agradecimientos a la Universidad del Cauca en Colombia por todo el apoyo academico y financiero brindado en este proyecto.

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